Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn logarit cơ số ( x^2 + y^2 + 2) của (4x + 4y - 4) lớn hơn hoặc bằng 1

Đáp án B

Ta có: ${\log }_{x^2+y^2+2}(4x+4y-4)\ge 1\iff x^2+y^2-4x-4y+6\le 0$ (1)

Giả sử M(x;y) thỏa mãn bất phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn $\left(C_1\right)$  tâm $I\left(2;2\right)$  bán kính $R_1=\sqrt{2}$

Vì m > 0 nên dễ thấy $x^2+y^2+2x-2y+2-m=0$  là phương trình đường tròn $\left(C_2\right)$  tâm $J\left(-1;1\right)$  bán kính $R_2=\sqrt{m}$

Vậy để tồn tại duy nhất cặp $\left(x;y\right)$  thỏa mãn đề bài khi chỉ khi $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$  tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.

$\iff \left[\begin{array}{l}IJ=R_1+R_2\\ IJ=R_1-R_2\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\sqrt{10}=\sqrt{m}+\sqrt{2}\\ \sqrt{10}=\sqrt{m}-\sqrt{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m={\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)}^2\\ m={\left(\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)}^2\end{array}\right.$

Tích các số m: ${\left(\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{10}+\sqrt{2}\right)\right)}^2=64.$