Cắt ba góc của một tam giác đểu cạnh bằng a các đoạn bằng x, (0 nhỏ hơn x nhỏ hơn a/2) phần còn lại là một tam giác đều

Đáp án D

Xét tam giác AMI như hình vẽ ,đặt $AM=x>\mathrm{0,}\widehat{MAI}={30}^o\Rightarrow MI=\frac{x}{\sqrt{3}}$

Lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy $a-2x,\left(0<x<\frac{a}{2}\right)$ , chiều cao $\frac{x}{\sqrt{3}}$  nên thể tích khối lăng trụ là $V=\frac{{\left(a-2x\right)}^2\sqrt{3}}{4}.\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{a^{2}x-4a{x}^2+4x^3}{4}$

Ta cần tìm  $x\in \left(0;\frac{a}{2}\right)$ để thể tích V đạt giá trị lớn nhất.

Xét $f\left(x\right)=a^{2}x-4a{x}^2+4x^3,$có $f\text{'}\left(x\right)=12x^2-8ax+a^2=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{a}{6}\\ x=\frac{a}{2}\left(1\right)\end{array}\right.$

Từ bảng biến thiên suy ra thể tích V đạt giá trị lớn nhất khi $x=\frac{a}{6}$