Cho hàm số y = 2x^3 - (m + 3)x^2 - 2(m - 6)x + 2019 . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số trên có hai điểm cực trị đều thuộc đoạn

Đáp án B

Ta có: $y\text{'}=6x^2-2\left(m+3\right)-2\left(m-6\right);y\text{'}=0\iff 3x^2-\left(m+3\right)x+6-m=0$

$\iff m=\frac{3\left(x^2-x+2\right)}{x+1}=f\left(x\right)\left(*\right)$

Yêu cầu bài toán trở thành “Tìm $m\in \mathbb{Z}$ , sao cho (*) có 2 nghiệm phân biệt đều thuộc $\left[0;3\right]$ ”.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{3\left(x^2-x+2\right)}{x+1}$  trên đoạn $\left[0;3\right]$ .

Ta có: $f\text{'}\left(x\right)=\frac{3\left(x^2+2x-3\right)}{{\left(x+1\right)}^2};f\text{'}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\end{array}\right.$

Từ bảng biến thiên, suy ra: $3<m\le 6\stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \left\{4;5;6\right\}$