Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có A'B = 4a . Gọi M là trung điểm của cạnh BB' và CM = a căn bậc 2 của 2

Đáp án A

Gọi N là trung điểm của $A\text{'}B\text{'}$ , khi đó: $NM//A\text{'}B\text{'}$

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}MN=\frac{AB}{2}=2a\\ \widehat{\left(A\text{'}B,CM\right)}=\widehat{\left(NM,CM\right)}={30}^o\end{array}\right.$

$\Rightarrow S_{CMN}=\frac{1}{2}MN.CM.\sin \left(\widehat{NM,CM}\right)={30}^o$

Ta có: $d\left(A\text{'}B,CM\right)=d\left(A\text{'}B,\left(CMN\right)\right)=d\left(B,\left(CMN\right)\right)=a$

Khi đó: $V_{B.CMN}=\frac{1}{3}d\left(B,\left(CMN\right)\right).S_{CMN}=\frac{1}{3}a.\frac{a^2\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}\left(*\right)$

Ta có: $S_{BMN}=\frac{1}{2}{S}_{BNB\text{'}}=\frac{1}{4}{S}_{A\text{'}BB\text{'}}\Rightarrow V_{B.CMN}=V_{C.BMN}=\frac{1}{4}{S}_{C.A\text{'}BB\text{'}}=\frac{1}{4}.\frac{1}{3}.V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}$

$\Rightarrow V_{ABC.A\text{'}B\text{'}C\text{'}}=12V_{B.CMN}=12.\frac{a^3\sqrt{2}}{6}=2\sqrt{2}{a}^3$

Chú ý: Với khối lăng trụ tam giác có thể tích V nếu lấy 4 đỉnh bất kì từ 6 đỉnh (để tạo thành tứ diện) thì thể tích $V_{\left(4\right)}=\frac{V}{3}$ , nếu lấy 5 điểm bất kì tạo thành khối đa diện có thể tích $V_{\left(5\right)}=\frac{2V}{3}$