Gọi a là hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn. Biết rằng trong khai triển trên tổng hệ số của ba số hạng đầu bằng 161. Tìm a

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có hệ số của số hạng thứ k trong khai triển là: $C_n^{k-1}.{(-2)}^{k-1}$.

Suy ra hệ số của 3 số hạng đầu lần lượt là: $C_n^0;-2C_n^1$  và ${(-2)}^2{C}_n^2$.

Do tổng hệ số ba số hạng đầu bằng 161 nên ta có: $C_n^0-2C_n^1+{(-2)}^2{C}_n^2=161$

 $\iff 1-2n+4\frac{n(n-1)}{2}=161\iff n^2-2n-80=0\iff n=10$ hoặc $n=-8$  (loại).

Với $n=10$ , ta có:

${\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^n={\left(x^2-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{\left(x^2\right)}^{10-k}{\left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)}^k=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k{(-2)}^k{x}^{\frac{40-5k}{2}}$.

Khi đó hệ số không chứa x trong khai triển thỏa mãn: $\frac{40-5k}{2}=0\iff k=8$.

Vậy hệ số không chứa x trong khai triển là: $a=C_{10}^8{(-2)}^8=11520$.