Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C, D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi...

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Ta có thiết diện (T) là tam giác MHK như hình vẽ.

Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều là giao 2 đường trung tuyến).

Khi đó: $\frac{AH}{AC}=\frac{AK}{A\text{D}}=\frac{2}{3}\Rightarrow HK\text{ // CD}\Rightarrow \text{HK=}\frac{2}{3}C\text{D}=\frac{2\text{a}}{3}$

Ta có: $M{H}^2=A{M}^2+A{H}^2-2\text{A}M.AH.\cos 60°$

$={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+{\left(\frac{2a}{3}\right)}^2-2.\frac{a}{2}.\frac{2a}{3}.\frac{1}{2}=\frac{13a^2}{36}$.

Suy ra $MK=MH=\frac{a\sqrt{13}}{6}$.

Xét tam giác cân MHK như hình vẽ.

Ta có: $MI=\sqrt{M{H}^2-I{H}^2}=\sqrt{\frac{13a^2}{36}-{\left(\frac{a}{3}\right)}^2}=\frac{a}{2}$

$\Rightarrow S_{MHK}=\frac{1}{2}MI.HK=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{2\text{a}}{3}=\frac{a^2}{6}$.