Cho mặt phẳng (P) x - y - z - 1 = 0 và hai điểm A(-5;1;2), B(1;-2;2) . Trong tất cả các điểm M thuộc mặt phẳng (P)

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Xét điểm $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$  (*) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{x_A+2{\text{x}}_B}{1+2}=-1\\ y_I=\frac{y_A+2y_B}{1+2}=-1\\ z_I=\frac{z_A+2{\text{z}}_B}{1+2}=2\end{array}\right.\Rightarrow I(-1;-1;2)$.

Khi đó $\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|=\left|\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)+2\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\right|\stackrel{(*)}{=}\left|3\overrightarrow{MI}\right|=3MI$

Suy ra:  ${\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|}_{\min }=3M{I}_{\min }\iff$M là hình chiếu vuông góc của I trên (P).

Đường thẳng d đi qua I và vuông góc với (P) có phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=-1-t\\ z=2-t\end{array}\right.$  (2*)

Thay (2*) vào phương trình mặt phẳng (P) ta được: $-1+t-(-1-t)-(2-t)-1=0\iff t=1\Rightarrow M(0;-2;1)\Rightarrow y_M=-2$.

Chú ý: Công thức xác định nhanh tọa độ điểm I:

$\sum k_i\overrightarrow{I{A}_i}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OI}=\frac{1}{{\displaystyle \sum k_i}}.\sum k_i.\overrightarrow{O{A}_i}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{1}{{\displaystyle \sum k_i}}.\sum k_i{x}_i\\ y_I=\frac{1}{{\displaystyle \sum k_i}}.\sum k_i{y}_i\\ z_I=\frac{1}{{\displaystyle \sum k_i}}.\sum k_i{z}_i\end{array}\right.$.