Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc -100; 100 để phương trình

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Điều kiện xác định $x>0$

Với $m=-\frac{1}{2}$ , phương trình không có 2 nghiệm thực dương phân biệt

Với $m\ne -\frac{1}{2}$ , ta có: ${\log }_3{x}^{2m+1}=(m+3)(x-1)\iff f\left(x\right)={\log }_{3}x=\frac{m+3}{2m+1}x-\frac{m+3}{2m+1}$

Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì: $\left\{\begin{array}{l}\frac{m+3}{2m+1}>0\\ \frac{m+3}{2m+1}\ne f^{\text{'}}\left(1\right)\end{array}\right.$  (phương pháp tiếp tuyến và tương giao)

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>-\frac{1}{2}\\ m<-3\end{array}\right.\\ \frac{m+3}{2m+1}\ne \frac{1}{\ln 3}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>-\frac{1}{2}\\ m<-3\end{array}\right.\stackrel{m\in \left[-100;100\right]}{\to }m\in \left[-100;-3\right)\cup \left(-\frac{1}{2};100\right]$

Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{\pm 100;\pm 99;\mathrm{...};\pm 4;0;1;2;3\right\}$ : có 198 giá trị của m thỏa mãn đề bài.