Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và P là điểm trên cạnh BB'

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) và hình lập phương là ngũ giác MNHPK (như hình vẽ).

Khi đó ta có: $V_1=V_{P.BIJ}-\left(V_{K.AMJ}+V_{H.CIN}\right)$  (*).

Ta có: DMN là tam giác vuông cân tại D.

Suy ra:  $\Delta \text{AMJ},\Delta CIN$ đều là tam giác vuông cân.

Đặt $AB=2\text{a}$ , khi đó:  $\text{AJ}=AM=CN=CI=a$ và $PB=\frac{3\text{a}}{2}$

$\frac{K\text{A}}{PB}=\frac{J\text{A}}{JB}=\frac{a}{3\text{a}}=\frac{1}{3}\Rightarrow KA=\frac{1}{3}PB=\frac{a}{2}$.

Khi đó $HC=KA=\frac{a}{2}$.

Suy ra: $\left\{\begin{array}{l}{V}_{K.\text{AMJ}}+V_{H.CIN}=2V_{K.\text{AMJ}}=2.\frac{1}{6}.AK.\text{AJ}.AM=2.\frac{1}{6}.\frac{a}{2}.a.a=\frac{a^3}{6}\\ V_{P.B\text{IJ}}=\frac{1}{6}.BP.BI.BJ=\frac{1}{6}.\frac{3a}{2}.3\text{a}.3\text{a}=\frac{9{\text{a}}^3}{4}\end{array}\right.\left(2*\right)$

 Thay (2*) vào (*) ta được: $V_1=\frac{9{\text{a}}^3}{4}-\frac{a^3}{6}=\frac{25{\text{a}}^3}{12}$

$\Rightarrow V_2=V_{ABC\text{D}.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}-V_1=8{\text{a}}^3-\frac{25{\text{a}}^3}{12}=\frac{71{\text{a}}^3}{12}\Rightarrow \frac{V_1}{V_2}=\frac{25}{71}$.