Giả sử f(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên R. Biết rằng G(x) = x^3 là

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

- Sử dụng: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên $ℝ$ nên $\left\{\begin{array}{l}\underset{}{\overset{}{\int }}f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C\\ f\left(x\right)=F\text{'}\left(x\right)\end{array}\right.$

Cách giải:

Xét $I=\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{-2x}f\text{'}\left(x\right)dx.$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=e^{-2x}\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=-2e^{-2x}dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow I=e^{-2x}f\left(x\right)+2\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{-2x}f\left(x\right)dx.$

Vì $G\left(x\right)=x^3$ là một nguyên hàm của $g\left(x\right)=e^{-2x}f\left(x\right)$ trên $ℝ$ nên $\left\{\begin{array}{l}\underset{}{\overset{}{\int }}{e}^{-2x}f\left(x\right)dx=G\left(x\right)+C=x^3+C\\ e^{-2x}f\left(x\right)=G\text{'}\left(x\right)=3x^2\end{array}\right.$

$\Rightarrow I=x^3+3x^2+C.$

Chọn C.