Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

Đáp án A

Mặt cầu $\left(S\right)$  có tâm $I\left(1;2;3\right)$  và bán kính $R=IT=I{T}^{\text{'}}=2$

Ta có  $T{T}^{\text{'}}=2TH$ mà  $\frac{1}{T{H}^2}=\frac{1}{T{I}^2}+\frac{1}{T{M}^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{I{M}^2-4}$  (1)

Ta đi tìm min IM.

Do $M\in d\Rightarrow M\left(1+t;-mt;\left(m-1\right)t\right)$   nên $I{M}^2=\left(2m^2-2m+2\right)t^2+\left(6-2m\right)t+13$

$\iff \left(2m^2-2m+2\right)t^2+\left(6-2m\right)t+13-I{M}^2=0$

Ta có: ${\Delta }^{\text{'}}={\left(3-m\right)}^2-\left(2m^2-2m+2\right)\left(13-I{M}^2\right)\ge 0$

$\iff I{M}^2\ge 13-\frac{{\left(m-3\right)}^2}{2m^2-2m+2}=f\left(m\right)$

 Ta có $f^{\text{'}}\left(m\right)=\frac{\left(m-3\right)\left(10m-2\right)}{{\left(2m^2-2m+2\right)}^2}=0\iff \left[\begin{array}{l}m=3\\ m=\frac{1}{5}\end{array}\right.$

Từ đó $f\left(m\right)\ge f\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{25}{3}\Rightarrow I{M}^2\ge \frac{25}{3}$

Từ (1)  suy ra $TH\ge \sqrt{\frac{52}{25}}\Rightarrow T{T}^{\text{'}}=2TH\ge \frac{4\sqrt{13}}{5}$