Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và AB = 2a, BC = a. Biết hình chiếu vuông góc của S

Dựng hình bình hành HDCE.

Suy ra  $HD//CE\Rightarrow HD//\left(SCE\right).$

Khi đó: $h=d\left(HD,SC\right)=d\left(HD,\left(SCE\right)\right)=d\left(H,\left(SCE\right)\right)=HK$

(như hình vẽ). Ta có:$EC=HD=\sqrt{A{H}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}.$

Suy ra:$HI=\frac{S_{HDCE}}{EC}=\frac{S_{ABCD}}{EC}=\frac{2a^2}{a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}.$

Tam giác SAB cân tại S và $\left(SB,\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SBA}=60°.$

Suy ra $\Delta SAB$  đều cạnh $AB=2a\Rightarrow SH=a\sqrt{3}.$

Ta có:  $\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{I}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{1}{2a^2}=\frac{5}{6a^2}$

$\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{30}}{5}.$

 Vậy $d\left(HD,SC\right)=\frac{a\sqrt{30}}{5}.$