Giả sử f(x) là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; pi) và

Phương pháp:

- Chuyển vế, chia cả 2 vế cho ${\sin }^{2}x.$

- Lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm hàm f(x)

- Sử dụng giả thiết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ tìm hằng số C, từ đó tìm $f\left(\frac{\pi }{6}\right).$

- Đồng nhất hệ số tìm a, b, c và tính tổng a + b + c.

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

$f\text{'}\left(x\right)\sin x=x+f\left(x\right)\cos x$

$\iff f\text{'}\left(x\right)\sin x-f\left(x\right)\cos x=x$

$\iff \frac{f\text{'}\left(x\right)\sin x-f\left(x\right).\left(\sin x\right)\text{'}}{{\sin }^{2}x}=\frac{x}{{\sin }^{2}x}$

$\iff \left(\frac{f\left(x\right)}{\sin x}\right)\text{'}=\frac{x}{{\sin }^{2}x}$

 

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

null

 

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=\frac{dx}{{\sin }^{2}x}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=-\cot x\end{array}\right.$

$\Rightarrow \frac{f\left(x\right)}{\sin x}=-x\cot x+\ln \left|\sin x\right|+C\Rightarrow f\left(x\right)=\sin x\left[-x\cot x+\ln \left|\sin x\right|+C\right]$

 

Vì $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$ nên $1=\sin \frac{\pi }{2}\left[-\frac{\pi }{2}\cot \frac{\pi }{2}+\ln \left|\sin \frac{\pi }{2}\right|+C\right]\iff 1=1.\left(-\frac{\pi }{2}.0+\ln 1+C\right)\iff C=1.$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\sin x\left[-x\cot x+\ln \left|\sin x\right|+1\right]$

$\Rightarrow f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{6}\left[-\frac{\pi }{6}.\cot \frac{\pi }{6}+\ln \left|\sin \frac{\pi }{6}\right|+1\right]$

               

$=\frac{1}{2}\left[-\frac{\pi }{6}.\sqrt{3}+\ln \frac{1}{2}+1\right]$

 $=\frac{1}{12}\left(6-6\ln 2-\pi \sqrt{3}\right)$

$\Rightarrow a=6,b=-6,c=-1$

Vậy $a+b+c=6-6-1=-1.$

Chọn A.