Xét hàm số f(x) = e^x (a sinx + b cosx) với a, b là tham số thực

Ta có:$f^{\text{'}}\left(x\right)=e^x\left(a\sin x+b\cos x\right)+e^x\left(a\cos x-b\sin x\right)$

$=e^x\left[\left(a-b\right)\sin x+\left(a+b\right)\cos x\right]$

 $=e^x\left[A\sin x+B\cos x\right]$ với $A=a-b;B=a+b.$

$\Rightarrow {f^{\text{'}}}^{\text{'}}=e^x\left[\left(A-B\right)\sin x+\left(A+B\right)\cos x\right]=e^x.\left(-2b\sin x+2a\cos x\right).$

Suy ra: $10e^x=f^{\text{'}}\left(x\right)+{f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=e^x\left[\left(a-3b\right)\sin x+\left(3a+b\right)\cos x\right]$

$\iff \left(a-3b\right)\sin x+\left(3a+b\right)\cos x=10.$

Điều kiện phương trình có nghiệm: ${\left(a-3b\right)}^2+{\left(3a+b\right)}^2\ge {10}^2\iff a^2+b^2\ge 10.$