Cho dãy số (un) với u1 = 2 và u n + 1 = 2un/ căn bậc 3 của (3 un^3 + 8) với mọi n lớn hơn hoặc bằng 1

Ta có:$u_{n+1}=\frac{2u_n}{\sqrt[3]{3u_n^3+8}}\iff u_{n+1}^3=\frac{8u_n^3}{3u_n^3+8}\iff 8u_{n+1}^3+3u_n^3.u_{n+1}^3-8u_n^3=0.$

 $\iff \frac{8}{u_n^3}+3-\frac{8}{u_{n+1}^3}=0\iff \frac{8}{u_{n+1}^3}=\frac{8}{u_n^3}+3$ (*)

Đặt $v_n=\frac{8}{u_n^3}\stackrel{\left(*\right)}{\to }{v}_{n+1}=v_n+\mathrm{3,}$  suy ra $\left(v_n\right)$  là một cấp số cộng có $\left\{\begin{array}{l}{v}_1=\frac{8}{u_1^3}=1\\ d=3\end{array}\right..$

Khi đó $\Rightarrow v_n=v_1+\left(n-1\right)d=3n-2\Rightarrow \frac{8}{u_n^3}=3n-2\iff u_n^3=\frac{8}{3n-2}.$

Xét các số hạng: $u_n\in \left[\frac{1}{\sqrt[9]{2018}};1\right]\iff u_n^3\in \left[\frac{1}{\sqrt[3]{2018}};1\right]\iff \frac{1}{\sqrt[3]{2018}}\le \frac{8}{3n-2}\le 1$

 $\iff 8\le 3n-2\le 8.\sqrt[3]{2018}\iff \mathrm{3,3}\le n\le \mathrm{34,4}\stackrel{n\in \mathbb{N}*}{\to }n:4\to \mathrm{34,}$ có 31 số hạng.