Cho hình trụ (T) có bán kính đáy và chiều cao đều bằng R, hai đáy là hai hình tròn (O)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB $\Rightarrow MH\perp \left(A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B\right).$

Khi đó:  $V_{M.A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B}=\frac{1}{3}MH.S_{A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B}=\frac{1}{3}MH.AB.A{A}^{\text{'}}=\frac{R}{3}MH.AB.$

Vậy để ${\left(V_{M.A{A}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}B}\right)}_{\max }\iff {\left(MH.AB\right)}_{\max }.$

Khi AB cố định thì ${\left(MH.AB\right)}_{\max }\iff M{H}_{\max }\iff$  M nằm chính giữa cung lớn AB, suy ra $O\in MH\Rightarrow$ H là trung điểm của AB.

Đặt  $OH=x\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MH=MO+OH=R+x\\ AB=2HB=2\sqrt{O{B}^2-O{H}^2}=2\sqrt{R^2-x^2}\end{array}\right..$

Suy ra:  $MH.AB=\left(R+x\right).2\sqrt{R^2-x^2}$

$\iff {\left(MH.AB\right)}^2=4{\left(R+x\right)}^2.(R^2-x^2)$

$=\frac{4}{3}\left(R+x\right)\left(R+x\right)\left(R+x\right).\left(3R-3x\right)$

$\le \frac{4}{3}{\left(\frac{\left(R+x\right)+\left(R+x\right)+\left(R+x\right)+\left(3R-3x\right)}{4}\right)}^4=\frac{27R^4}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi:  $R+x=3R-3x\iff x=\frac{R}{2}.$