Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt bên SAB

Phương pháp:

- Chứng minh $\angle \left(AD;\left(SAB\right)\right)=\angle \left(BC;\left(SAB\right)\right)$

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên (SAB) xác định $\angle \left(BC;\left(SAB\right)\right).$ Từ đó tính CH.

- Tính $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}CH.S_{\Delta SAB}$

- Tính $V_{S.ABCD}=2V_{S.ABC}$.

Cách giải:

Vì $BC//AD\Rightarrow \angle \left(AD;\left(SAB\right)\right)=\angle \left(BC;\left(SAB\right)\right).$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên $\left(SAB\right)\Rightarrow BH$ là hình chiếu của BC lên (SAB)

$\Rightarrow \angle \left(BC;\left(SAB\right)\right)=\angle \left(BC;BH\right)=\angle HBC={30}^0$

Xét tam giác vuông ABC có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a$

Xét tam giác vuông BCH có $CH=BC.\sin {30}^0=2a.\frac{1}{2}=a.$

Vì $\Delta SAB$ đều cạnh $a\sqrt{3}$ nên $S_{\Delta SAB}=\frac{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2.\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{4}.$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac{1}{3}CH.S_{\Delta SAB}=\frac{1}{3}.a.\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{4}=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{4}.$

Vậy $V_{S.ABCD}=2V_{S.ABC}=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{2}.$

Chọn C.