Xét tất cả các số thực dương x, y thỏa mãn x + y/10 + log(1/2x + 1/2y) = 1 + 2xy

Phương pháp:

- Xét hàm đặc trưng, rút y theo x

- Thế vào biểu thức $\frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2},$ sử dụng: Biểu thức $a{x}^2+bx+c\left(a>0\right)$ đạt GTNN tại $x=-\frac{b}{2a}.$ Từ đó tìm x, y.

Cách giải:

Với x, y ta có:

     $\frac{x+y}{10}+\log \left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\right)=1+2xy$

$\iff \frac{x+y}{10}+\log \frac{x+y}{2xy}=1+2xy$

$\iff \frac{x+y}{10}+\log \left(x+y\right)-\log \left(2xy\right)=1+2xy$

$\iff \frac{x+y}{10}+\log \left(x+y\right)-1=\log \left(2xy\right)+2xy$

$\iff \frac{x+y}{10}+\log \frac{x+y}{10}=\log \left(2xy\right)+2xy\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\log t+t\left(t>0\right)$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{1}{t\ln 10}+1>0\forall t>0,$ nên hàm số y = f(t) đồng biến trên $\left(0;+\infty \right).$ 

Do đó $\left(*\right)\iff \frac{x+y}{10}=2xy\iff x+y=20xy\Rightarrow y=\frac{x}{20x-1}.$

Ta có:

$P=\frac{4}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{4}{x^2}+\frac{{\left(20x-1\right)}^2}{x^2}=\frac{400x^2-40x+5}{x^2}=400-\frac{40}{x}+\frac{5}{x^2}.$

Hàm số đạt GTNN khi $\frac{1}{x}=\frac{40}{2.5}=4\iff x=\frac{1}{4}\left(tm\right).$

Khi đó $P_{\min }$ khi $x=\frac{1}{4},y=\frac{1}{16}.$

Vậy $xy=\frac{1}{4}.\frac{1}{16}=\frac{1}{64}.$

Chọn C.