Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = e^-2x + m/me^-2x + 1

Phương pháp:

- Đặt $t=e^{-2x}\Rightarrow t\in \left(0;\frac{1}{4}\right),$ đưa hàm số về hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất ẩn t

- Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đồng (nghịch) biến trên (a; b) khi $\left\{\begin{array}{l}y\text{'}>0\left(y\text{'}<0\right)\\ -\frac{d}{c}\notin \left(a;b\right)\end{array}\right.$

Cách giải:

Đặt $t=e^{-2x}.$ Với $x\in \left(\ln 2;+\infty \right)\Rightarrow t\in \left(0;\frac{1}{4}\right),$ đồng thời x, t trái nhau về tính đơn điệu.

Do đó để hàm số $y=\frac{e^{-2x}+m}{m{e}^{-2x}+1}$ đồng biến trên $\left(\ln 2;+\infty \right)$ thì hàm số $y=\frac{t+m}{mt+1}$ nghịch biến trên $\left(0;\frac{1}{4}\right).$

Ta có $y\text{'}=\frac{1-m^2}{{\left(mt+1\right)}^2}\forall t\ne -\frac{1}{m}.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}1-m^2<0\\ \left[\begin{array}{l}-\frac{1}{m}\le 0\\ -\frac{1}{m}\ge \frac{1}{4}\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m>1\\ m<-1\end{array}\right.\\ \left[\begin{array}{l}m>0\\ -4\le m<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m>1\\ -4\le m<-1\end{array}\right..$

Chọn A.