Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0)

Phương pháp:

- Viết phương trình mặt phẳng (ABC) dạng mặt chắn.

- Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (ABC).

- Mặt phẳng (P) tiếp xúc với S(I; R) khi và chỉ khi $d\left(I;\left(P\right)\right)=R.$

- Khoảng cách từ điểm $M\left(x_0;y_0;z_0\right)$ đến mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$ là:

                                         $d\left(M;\left(P\right)\right)=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Cách giải:

Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$

Vì $M\left(\frac{1}{7};\frac{2}{7};\frac{3}{7}\right)\in \left(ABC\right)$ nên ta có $\frac{1}{7a}+\frac{2}{7b}+\frac{3}{7c}=1\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=7.$

Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{72}{7}$ có tâm I(1; 2;3) bán kính $R=\sqrt{\frac{72}{7}}.$

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên $d\left(I;\left(ABC\right)\right)=R.$

$\Rightarrow \frac{\left|\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}\iff \frac{6}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\sqrt{\frac{72}{7}}\Rightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{7}{2}.$

Chọn D.