Cho phương trình lo3^2(x) -4logx + m - 3 = 0. Tìm tất cả các giá trị nguyên

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Đặt ẩn phụ ${\log }_{3}x=t$ để phương trình đã cho về phương trình bậc hai ẩn t

- Từ điều kiện $x_1<x_2$ thỏa mãn $x_2-81x_1<0$ suy ra điều kiện của

- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.

Cách giải:

ĐKXĐ: x > 0

Đặt ${\log }_{3}x=t,$ phương trình đã cho trở thành: $t^2-4t+m-3=0\left(*\right)$

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt $x_1<x_2$ thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $t_1<t_2$.

Suy ra $\Delta \text{'}=4-\left(m-3\right)=7-m>0\Rightarrow m<7\left(**\right).$

Khi đó áp dụng Vi-et ta có $\left\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=4\\ t_1.t_2=m-3\end{array}\right.$

Vì $\left\{\begin{array}{l}{\log }_3{x}_1=t_1\\ {\log }_3{x}_2=t_2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=3^{t_1}\\ x_2=3^{t_2}\end{array}\right..$

Theo bài ra ta có:

     $x_2-81x_1<0\iff 3^{t_2}-{81.3}^{t_1}<0$

$\iff 3^{t_2}<3^{t_1+4}\iff t_2<t_1+4\iff t_2-t_1<4$

$\iff {\left(t_2-t_1\right)}^2<16$ (do $t_2-t_1>0$)

$\iff {\left(t_2+t_1\right)}^2-4t_1{t}_2<16$

$\iff 16-4\left(m-3\right)<16$

$\iff 16-4m+12<0\iff m>3$

Kết hợp điều kiện (**) và điều kiện đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}3<m<7\\ m\in \mathbb{Z}\end{array}\right.\Rightarrow m\in \left\{4;5;6\right\}.$

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.