Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d: {x = 1 + t, y = 2- t, z = t

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Tham số hóa tọa độ các điểm A, B

- AB ngắn nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d, d'

- Giải hệ $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u\text{'}}=0\end{array}\right.$ tìm tọa độ các điểm A, B với $\overrightarrow{u},\overrightarrow{u\text{'}}$ lần lượt là VTCP của d, d'

- Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua $A\left(x_A;y_A;z_A\right)$ nhận $\overrightarrow{AB}\left(a;b;c\right)$ là 1 VTCP: $\frac{x-x_A}{a}=\frac{y-y_A}{b}=\frac{z-z_A}{c}.$

Cách giải:

Gọi $\Delta \cap d=A\left(t+1;2-t;t\right);\Delta \cap d\text{'}=\left(2t\text{'};1+t\text{'};2+t\text{'}\right).$

AB ngắn nhất khi AB là đoạn vuông góc chung của d, d'

Gọi $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;1\right)$ và $\overrightarrow{u\text{'}}=\left(2;1;1\right)$ lần lượt là VTCP của d, d'

Vì AB là đoạn vuông góc chung của d, d' nên $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u}=0\\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u\text{'}}=0\end{array}\right.$

Ta có $\overrightarrow{AB}\left(2t\text{'}-t-1;t\text{'}+t-1;t\text{'}-t+2\right).$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2t\text{'}-t-1-t\text{'}-t+1+t\text{'}-t+2=0\\ 4t\text{'}-2t-2+t\text{'}+t-1+t\text{'}-t+2=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2t\text{'}-3t=-2\\ 6t\text{'}-2t=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\text{'}=\frac{1}{2}\\ t=1\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}A\left(2;1;1\right)\\ B\left(1;\frac{3}{2};\frac{5}{2}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(-1;\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$

Khi đó phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A(2; 1; 1) và có 1 VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left(-2;1;3\right)$ là $\frac{x-2}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{3}.$

Chọn D.