Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1

Phương pháp:

Sử dụng công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp có mặt bên vuông góc với đáy $R=\sqrt{R_b^2+R_d^2-\frac{g{t}^2}{4}}$ với $R_b,R_d$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc với đáy và bán kính mặt cầu ngoại tiếp đáy, gt là giao tuyến của mặt bên vuông góc đáy và mặt đáy.

Cách giải:

Mặt bên SAB là tam giác đều cạnh 1 nên $R_b=\frac{\sqrt{3}}{3},$ đáy là tam giác đều cạnh 1 nên $R_d=\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Ta có $\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right)=AB$ và AB = 1.

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là: $R=\sqrt{R_b^2+R_d^2-\frac{g{t}^2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{6}.$

Vậy thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC là $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi .{\left(\frac{\sqrt{15}}{6}\right)}^2=\frac{5\sqrt{15}\pi }{54}.$

Chọn C.