Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Phương pháp:

- Đặt ẩn phụ $x-\frac{2}{x}=t,$ đưa phương trình về dạng m = f(t) với $t\in \left[a;b\right].$

- Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên hàm số f(x) trên [a; b] và tìm các giá trị m thỏa mãn.

Cách giải:

Đặt $x-\frac{2}{x}=t$ ta có: $t\text{'}=\left(x-\frac{2}{x}\right)\text{'}=1+\frac{2}{x^2}>0\Rightarrow$ Hàm số f(x) đồng biến trên [1; 2].

Do đó $x\in \left[1;2\right]\Rightarrow t\in \left[-1;1\right].$

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{t}^2=x^2+\frac{4}{x^2}-4\Rightarrow x^2+\frac{4}{x^2}=t^2+4\\ x^4+\frac{16}{x^4}={\left(x^2+\frac{4}{x^2}\right)}^2-8={\left(t^2+4\right)}^2-8\end{array}\right.$

Khi đó phương trình đã cho có dạng

${\left(t^2+4\right)}^2-8+4\left(t^2+4\right)-12t=m$ có nghiệm $t\in \left[-1;1\right]$

$\iff t^4+8t^2+16-8+4t^2+16-12t=m$ có nghiệm $t\in \left[-1;1\right]$.

$\iff t^4+12t^2-12t+24=m$ có nghiệm $t\in \left[-1;1\right]\left(*\right).$

Xét $f\left(t\right)=t^4+12t^2-12t+24\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=4t^3+24t-12=0\Rightarrow t\approx 0,48$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta suy ra $\left(*\right)\iff 21,06\le m\le 49,m\in \mathbb{Z}.$

Vậy có 28 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.