Cho các số dương x, y thỏa mãn 2^x^3 - y + 1 = 2x + y/2x^3 + 4x + 4

Phương pháp:

- Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn $x^3$ theo y

- Thế vào biểu thức P sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức P

Cách giải:

Ta có $2^{x^3-y+1}=\frac{2x+y}{2x^3+4x+4}$

$\iff 2^{x^3+2x+2-2x-y-1}=\frac{2x+y}{2x^3+4x+4}$

$\iff \frac{2^{x^3+2x+2}}{2^{2x+y}.2}=\frac{2x+y}{2\left(x^3+2x+2\right)}$

$\iff 2^{x^3+2x+2}\left(x^3+2x+2\right)=2^{2x+y}.\left(2x+y\right)\left(*\right)$

Xét $f\left(t\right)=2^t.t,t>0$ ta có $f\text{'}\left(t\right)=2^t+t{.2}^t.\ln 2>0;\forall t>0.$ Do đó hàm số f(t) đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$

Do đó $\left(*\right)\iff x^3+2x+2=2x+y\Rightarrow x^3=y-2.$

Khi đó $P=\frac{7}{y}+\frac{x^3}{7}=\frac{7}{y}+\frac{y-2}{7}=\frac{7}{y}+\frac{y}{7}-\frac{2}{7}\ge 2\sqrt{\frac{7}{y}.\frac{y}{7}}-\frac{2}{7}=\frac{12}{7}.$

Dấu “=” xảy ra $\iff \frac{7}{y}=\frac{y}{7}\iff y=7$ (do y > 0)

Vậy $P_{\min }=\frac{12}{7}\iff x=\sqrt[3]{5},y=7.$

Chọn D.