Cho phương trình 11^x + m = log11(x - m) với m là tham số

Phương pháp:

Xét hàm đặc trưng

Cách giải:

Ta có

     ${11}^x+m={\log }_{11}\left(x-m\right)$

$\iff {11}^x+x=x-m+{\log }_{11}\left(x-m\right)$

$\iff {11}^x+x={11}^{{\log }_{11}\left(x-m\right)}+{\log }_{11}\left(x-m\right)\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)={11}^t+t\Rightarrow y\text{'}={11}^t.\ln 11+1>0\forall \text{t.}$ Khi đó hàm số y = f(t) đồng biến trên $ℝ.$

Do đó $\left(*\right)\iff x={\log }_{11}\left(x-m\right)\iff {11}^x=x-m\iff m=x-{11}^x.$

Xét hàm số $g\left(x\right)=x-{11}^x$ ta có $g\text{'}\left(x\right)=1-{11}^x.\ln 11=0\Rightarrow x={\log }_{11}\frac{1}{\ln 11}=x_0$.

Bảng biến thiên

Để phương trình đã cho có nghiệm thì $m<g\left(x_0\right)\approx -0,78.$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\left\{\begin{array}{l}-205<m\le -1\\ m\in \mathbb{Z}\end{array}\right..$

Vậy có 204 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.