Cho I = tích phân từ 1 đến e của lnx/x(lnx + 2)^2dx = aln3 + bln2 + c/3

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Đổi biến t = lnx + 2. Đổi cận.

- Tính tích phân, đồng nhất hệ số tìm a, c, c.

Cách giải:

Ta có $I=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{\ln x}{x{\left(\ln x+2\right)}^2}dx$

Đặt $t=\ln x+2\Rightarrow dt=\frac{dx}{x}$ và lnx = t - 2

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=2\\ x=e\Rightarrow t=3\end{array}\right..$

Khi đó ta có: $=\underset{2}{\overset{3}{\int }}\frac{t-2}{t^2}dt=\left(\ln t+\frac{2}{t}\right)\left|\begin{array}{l}3\\ 2\end{array}\right.=\ln 3-\ln 2-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow a=1;b=-1;c=-1.$

Vậy $a^2+b^2+c^2=3.$

Chọn D.