Cho hàm số f(x) = 2/5m^2x^5 - 8/3mx^3 - (m^2 - m - 20)x + 1

Phương pháp:

- Tính f'(x)

- Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$ khi $f\text{'}\left(x\right)\ge 0\forall x\in ℝ\left(*\right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

- Đặt $x^2=t\ge 0.$ Đưa (*) về dạng $a{t}^2+bt+c\ge 0\forall t\in ℝ\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \text{'}\le 0\end{array}\right..$

Cách giải:

Ta có $f\left(x\right)=\frac{2}{5}{m}^2{x}^5-\frac{8}{3}m{x}^3-\left(m^2-m-20\right)x+1$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2m^2{x}^4-8m{x}^2-\left(m^2-m-20\right)$

Hàm số đã cho đồng biến trên $ℝ$ khi $f\text{'}\left(x\right)=2m^2{x}^4-8m{x}^2-\left(m^2-m-20\right)\ge 0\forall x\in ℝ\left(*\right)$ và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Đặt $x^2=t\ge 0.$ Khi đó $\left(*\right)\iff 2m^2{t}^2-8mt-\left(m^2-m-20\right)\ge 0\forall t\in ℝ.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2m^2>0\\ \Delta \text{'}=16m^2+2m^2\left(m^2-m-20\right)\le 0\end{array}\right.\Rightarrow -3\le m\le 4.$

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.