Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 3] thỏa mãn f(1) = 2

Phương pháp:

- Biến đổi phù hợp và sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế tìm f(x)

- Sử dụng giả thiết f(1) = 2 tìm hằng số C và tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Cách giải:

Ta có

$f\left(x\right)-\left(x+1\right)f\text{'}\left(x\right)=2x{f}^2\left(x\right)$

$\iff \frac{\left(x+1\right)\text{'}f\left(x\right)-\left(x+1\right)f\text{'}\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=2x$

$\iff \left(\frac{x+1}{f\left(x\right)}\right)\text{'}=2x$

Lấy nguyên hàm hai vế ta có:

$\underset{}{\overset{}{\int }}\left(\frac{x+1}{f\left(x\right)}\right)\text{'}dx=\underset{}{\overset{}{\int }}2xdx$

$\iff \frac{x+1}{f\left(x\right)}=x^2+C$

$\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2+C}$

Lại có $f\left(1\right)=2\Rightarrow 2=\frac{2}{1+C}\iff C=0\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2}.$

Vậy $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\frac{x+1}{x^2}dx=\left(\ln \left|x\right|-\frac{1}{x}\right)\left|\begin{array}{l}3\\ 1\end{array}\right.=\frac{2}{3}+\ln 3.$

Chọn C.