Cho hai số thực x, y thỏa mãn e^2x - e^y = -ln2 + y - 2, (x > 0)

Phương pháp:

- Tìm hàm đặc trưng.

- Biểu diễn y theo x

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của P

Cách giải:

Ta có

     $e^{2}x-e^y=-\ln 2+y-2\left(x>0\right)$

$\iff e^{2}x+\ln x+2=e^y+y$

$\iff e^{2}x+\ln x+\ln e^x=e^y+y$

$\iff e^{\ln \left(e^{2}x\right)}+\ln \left(e^{2}x\right)=e^y+y\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=e^t+t\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=e^t+1>0\forall t$ nên hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

Do đó $\left(*\right)\iff \ln \left(e^{2}x\right)=y\Rightarrow y=2+\ln x.$

Khi đó ta có: $P=\frac{y}{x}=\frac{2+\ln x}{x}=-\frac{2}{x}+\frac{\ln x}{x}$.

Ta có $P\text{'}=-\frac{2}{x^2}+\frac{1-\ln x}{x^2}=0\iff \frac{-\ln x-1}{x^2}=0\iff x=\frac{1}{e}\left(tm\right).$

Vậy $P_{\max }=P\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{2-1}{\frac{1}{e}}=e.$

Chọn A.