Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a. Cạnh bên

Phương pháp:

- Chứng minh $\Delta SBD$ đều, gọi $O=AC\cap BD,$ tính SO.

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOA tính SA

- Tính $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$.

Cách giải:

Dễ thấy $\Delta SAB=\Delta SAD$ (2 cạnh góc vuông) $\Rightarrow SB=SD\Rightarrow \Delta SBD$ cân tại S

Lại có $\angle SBD={60}^0\left(gt\right)\Rightarrow \Delta SBD$ đều.

Gọi $O=AC\cap BD.$ Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $AC=BD=a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và $\Delta SBD$ đều cạnh $a\sqrt{2}$ nên $SO=\frac{a\sqrt{2}.\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $SOA:SA=\sqrt{S{O}^2-O{A}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=a.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.a.a^2=\frac{a^3}{3}.$

Chọn C.