Cho phương trình log3^2(3x) - (m + 2)log3(x) + 3m - 5 = 0

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Đặt $t={\log }_{3}x.$ Tìm khoảng giá trị $t\in \left[a;b\right].$

- Đưa bài toán trở thành tìm m để phương trình bậc 2 ẩn t có 2 nghiệm phân biệt thuộc [a; b].

- Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn t có 2 nghiệm phân biệt, sau đó giải tìm hai nghiệm theo m.

- Cho các nghiệm đã tìm được thuộc [a; b] và tìm m.

Cách giải:

Ta có:

${\log }_3^2\left(3x\right)-\left(m+2\right){\log }_{3}x+2m-5=0$

$\iff {\left({\log }_{3}x+1\right)}^2-\left(m+2\right){\log }_{3}x+2m-5=0$

$\iff {\log }_3^{2}x-m{\log }_{3}x+2m-4=0\left(*\right)$

Đặt $t={\log }_{3}x,$ với $x\in \left[9;27\right]\Rightarrow t\in \left[2;3\right],$ phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt $t_1,t_2\in \left[2;3\right].$

Ta có $\Delta =m^2-4\left(2m-4\right)>0\iff m^2-8m+16>0\iff {\left(m-4\right)}^2>0\iff m\ne 4.$

Khi đó (**) có 2 nghiệm phân biệt $\left[\begin{array}{l}{t}_1=\frac{m+m-4}{2}=m\\ t_2=\frac{m-m+4}{2}=2\in \left[2;3\right]\end{array}\right.$

Vậy $m\in \left[2;3\right].$

Chọn C.