Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Xét hàm số $g\left(x\right)=x^4-8x^2+m$ trên [1; 3]

- Tìm $\underset{\left[1;3\right]}{\min }g\left(x\right),\underset{\left[1;3\right]}{\max }g\left(x\right).$

- Suy ra $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{\left|\underset{\left[1;3\right]}{\min }g\left(x\right)\right|,\left|\underset{\left[1;3\right]}{\max }g\left(x\right)\right|\right\}$

- Xét từng trường hợp $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\left|\underset{\left[1;3\right]}{\min }g\left(x\right)\right|,\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\left|\underset{\left[1;3\right]}{\max }g\left(x\right)\right|$ và tìm m.

Cách giải:

Xét hàm số $g\left(x\right)=x^4-8x^2+m$ trên [1; 3] ta có $g\text{'}\left(x\right)=4x^3-16x=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\notin \left[1;3\right]\\ x=2\in \left[1;3\right]\\ x=-2\notin \left[1;3\right]\end{array}\right.$

Ta có $g\left(1\right)=m-7,g\left(3\right)=m+9,g\left(2\right)=m-16.$

$\Rightarrow \underset{\left[1;3\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(2\right)=m-16,\underset{\left[1;3\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(3\right)=m+9.$

$\Rightarrow \underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\max \left\{\left|m-16\right|;\left|m+9\right|\right\}.$

TH1: $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\left|m-16\right|\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left|m-16\right|=18\\ \left|m-16\right|\ge \left|m+9\right|\end{array}\right.\iff m=-2.$

TH2: $\underset{\left[1;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\left|m+9\right|\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\left|m+9\right|=18\\ \left|m-16\right|\le \left|m+9\right|\end{array}\right.\iff m=9$

$\Rightarrow S=\left\{-2;9\right\}.$

Vậy tổng tất cả các phần tử của S bằng -2 + 9 = 7.

Chọn C.