Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh a

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Chứng minh $d\left(SC;AB\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)$

- Đổi điểm tính khoảng cách chứng minh $d\left(SC;AB\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)$.

- Gọi M là trung điểm của CD trong (SOM) kẻ $OH\perp SM\left(H\in SM\right),$ chứng minh $OH\perp \left(SCD\right)$.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM để tính OH.

Cách giải:

Ta có $AB//CD\Rightarrow AB//\left(SCD\right)\supset SC\Rightarrow d\left(SC;AB\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)$.

Lại có $AO\cap \left(SCD\right)=C\Rightarrow \frac{d\left(A;\left(SCD\right)\right)}{d\left(O;\left(SCD\right)\right)}=\frac{AC}{OC}=2\Rightarrow d\left(SC;AB\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)=2d\left(O;\left(SCD\right)\right)$

Gọi M là trung điểm của CD trong (SOM) kẻ $OH\perp SM\left(H\in SM\right)$ ta có:

$\left\{\begin{array}{l}CD\perp OM\\ CD\perp SO\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOM\right)\Rightarrow CD\perp OH$

$\left\{\begin{array}{l}OH\perp CD\\ OH\perp SM\end{array}\right.\Rightarrow OH\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(O;\left(SCD\right)\right)=OH$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SOM:OH=\frac{SO.OM}{\sqrt{S{O}^2+O{M}^2}}=\frac{a.\frac{a}{2}}{\sqrt{a^2+\frac{a^2}{4}}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}.$

Vậy $d\left(SC;AB\right)=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$

Chọn B.