Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Số giá trị nguyên của

* Hướng dẫn giải

Phương pháp:

- Đặt $t=x^2-4x,$ với $x\in \left(0;+\infty \right),$ đưa phương trình về dạng f(t) = m (*).

- Xác định mỗi nghiệm t cho bao nhiêu nghiệm x trên từng khoảng cụ thể.

- Tìm điều kiện về số nghiệm của phương trình (*) để phương trình ban đầu có ít nhất 5 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

Đặt $t=x^2-4x,$ với $x\in \left(0;+\infty \right),$ khi đó phương trình trở thành $3f\left(t\right)=m+5\iff f\left(t\right)=\frac{m+5}{3}\left(*\right).$

Ta có $t\text{'}\left(x\right)=2x-4=0\iff x=2\in \left(0;+\infty \right).$

BBT:

Dựa vào BBT đề bài cho, ta thấy phương trình $f\left(t\right)=\frac{m+5}{3}$ có tối đa 4 nghiệm, mỗi nghiệm $t\in \left(-4;0\right)$ cho 2 nghiệm x phân biệt, mỗi nghiệm $t\in \left[0;+\infty \right)\cup \left\{-4\right\}$ cho 1 nghiệm x

Để phương trình ban đầu có ít nhất 5 nghiệm thuộc $\left(0;+\infty \right)$ thì phương trình (*):

TH1: Có 1 nghiệm $t\in \left(-4;0\right)$ và 3 nghiệm $t\in \left[0;+\infty \right)\cup \left\{-4\right\}$ (ktm).

TH2: Có 2 nghiệm $t\in \left(-4;0\right)$ và 1 nghiệm $t\in \left[0;+\infty \right)\cup \left\{-4\right\}$ (ktm).

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-2<\frac{m+5}{3}\le 2\\ -3\le \frac{m+5}{3}\ne -2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-6<m+5\le 5\\ -9\le m+5\ne -6\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-11<m\le 0\\ -14\le m\ne -11\end{array}\right.\iff m\in \left[-14;0\right]\backslash \left\{-11\right\}$.

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow$ Có 14 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.