Cho hai số phức z1, z2 là hai nghiệm của phương trình

Phương pháp:

- Đặt z = x + yi khai triển $\left|2z-i\right|=\left|2+iz\right|$ tìm mối quan hệ giữa x, y.

- Chứng minh ${\left|z_1+z_2\right|}^2+{\left|z_1-z_2\right|}^2=2\left({\left|z_1\right|}^2+{\left|z_2\right|}^2\right),$ từ đó tìm $P=\left|z_1+z_2\right|.$

Cách giải:

Đặt z = x + yi ta có:

     $\left|2z-i\right|=\left|2+iz\right|$

$\iff \left|2x+2yi-i\right|=\left|2+i\left(x+yi\right)\right|$

$\iff \left|2x+\left(2y-1\right)i\right|=\left|\left(2-y\right)+xi\right|$

$\iff 4x^2+{\left(2y-1\right)}^2={\left(2-y\right)}^2+x^2$

$\iff 3x^2+3y^2=3$

$\iff x^2+y^2=1$

Đặt $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,$ xét

$A={\left|z_1+z_2\right|}^2+{\left|z_1-z_2\right|}^2$

     $={\left|\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)i\right|}^2+{\left|\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1-y_2\right)i\right|}^2$

     $={\left(x_1+x_2\right)}^2+{\left(y_1+y_2\right)}^2+{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2$

     $=2\left(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2\right)$

Vì $z_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình $\left|2z-i\right|=\left|2+iz\right|$ nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_1^2+y_1^2=1\\ x_2^2+y_2^2=1\end{array}\right.$

$\Rightarrow A=2\left(1+1\right)=4$

$\Rightarrow {\left|z_1+z_2\right|}^2+{\left|z_1-z_2\right|}^2=4$

$\Rightarrow {\left|z_1+z_2\right|}^2=4-{\left|z_1-z_2\right|}^2=3$

$\Rightarrow P=\left|z_1+z_2\right|=\sqrt{3}$

Chọn C.