Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R thỏa mãn f(0) = 3 và

Phương pháp:

- Áp dụng tích phân từng phần với $\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx.$

- Từ giả thiết $f\left(0\right)=3,f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2$ tính f(2)

- Lấy tích phân hai vế biểu thức $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2.$

- Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính $J=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx,$ từ đó tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$ và tính I.

Cách giải:

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right..$

$\Rightarrow I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx=xf\left(x\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Theo bài ra ta có: $f\left(0\right)=3,f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2.$

$\Rightarrow f\left(0\right)+f\left(2\right)=2\Rightarrow f\left(2\right)=2-f\left(0\right)=2-3=-1.$

$\Rightarrow I=2f\left(2\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Lấy tích phân hai vế biểu thức $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2$ ta có

$\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x+2\right)dx=\frac{8}{3}.$

Xét $J=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx,$ đặt $t=2-x\Rightarrow dt=-dx.$ Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=2\\ x=2\Rightarrow t=0\end{array}\right..$

$\Rightarrow J=-\underset{2}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{8}{3}\iff \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{4}{3}.$

Vậy $\Rightarrow I=-2-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}.$

Chọn A.