Cho hình vuông ABCD có các đỉnh A, B, C tương ứng nằm trên đồ thị

Phương pháp:

- Gọi $A\left(m;{\log }_{a}m\right),B\left(n;2{\log }_{a}n\right);C\left(p;3{\log }_{3}p\right)\left(m,n,p>0\right).$

- Tính $\overrightarrow{AB},$ sử dụng điều kiện cạnh AB song song với trục hoành tìm m theo n.

- Tính AB giải phương trình tìm m, n.

- Tính $\overrightarrow{BC},$ sử dụng điều kiện $BC\perp AB$ tìm p.

- Giải phương trình độ dài cạnh BC tìm a

Cách giải:

Gọi $A\left(m;{\log }_{a}m\right),B\left(n;2{\log }_{a}n\right);C\left(p;3{\log }_{3}p\right)\left(m,n,p>0\right).$

Vì ABCD là hình vuông nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(n-m;2{\log }_{a}n-{\log }_{a}m\right)=\left(n-m;{\log }_a\frac{n^2}{m}\right).$

Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{i}\left(1;0\right)$ cùng phương nên ${\log }_a\frac{n^2}{m}=0\iff \frac{n^2}{m}=1\iff n^2=m.$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(n-n^2;0\right)\Rightarrow AB=\left|n-n^2\right|$.

Lại có $S_{ABCD}=36\Rightarrow A{B}^2=36\iff AB=6.$

$\Rightarrow \left|n-n^2\right|=6\iff \left[\begin{array}{l}{n}^2-n=6\\ n^2-n=-6\left(VN\right)\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}n=3\\ n=-2\left(ktm\right)\end{array}\right.\Rightarrow m=9$

Tương tự ta có $\overrightarrow{BC}=\left(p-n;{\log }_a\frac{p^3}{n^2}\right)$ cùng phương với $\overrightarrow{j}=\left(0;1\right)$ nên $p-n=0\iff p=n=3.$

$\Rightarrow \overrightarrow{BC}=\left(0;{\log }_a\frac{3^3}{3^2}\right)=\left(0;{\log }_{a}3\right)\Rightarrow BC=\left|{\log }_{a}3\right|.$

Mà $BC=AB=6\Rightarrow \left|{\log }_{a}3\right|=6\iff \left[\begin{array}{l}{\log }_{a}3=6\\ {\log }_{a}3=-6\end{array}\right.\iff a=\sqrt[6]{3}$.

Chọn B.