Có bao nhiêu số nguyên a thuộc đoạn [-20; 20] sao cho hàm số

* Hướng dẫn giải

TXĐ: $D=ℝ.$

Ta có $y\text{'}=-2+a.\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}.$

$y"=a.\frac{\sqrt{x^2-4x+5}-\left(x-2\right).\frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+5}}}{x^2-4x+5}$

$y"=a.\frac{x^2-4x+5-{\left(x-2\right)}^2}{\left(x^2-4x+5\right)\sqrt{x^2-4x+5}}=\frac{1}{\left(x^2-4x+5\right)\sqrt{x^2-4x+5}}$

+ TH1: $a=0\Rightarrow y=-2x+2$ nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ nên hàm số không có cực đại $\Rightarrow a=0$ không thỏa mãn.

+ TH2: $a\ne 0\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a>0\Rightarrow y\text{'}>0\\ a<0\Rightarrow y\text{'}<0\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Hàm số đã cho có cực đại $\iff a<0$ và phương trình y' = 0 có nghiệm.

Đặt t = x - 2 ta có $y\text{'}=0\iff -2+a.\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}=0\iff at=2\sqrt{t^2+1}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}t\le 0\\ a^2{t}^2=4t^2+4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\le 0\\ \left(a^2-4\right)t^2=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}t\le 0\\ t^2=\frac{4}{a^2-4}\left(a\ne \pm 2\right)\end{array}\right.\left(*\right)$

$\Rightarrow$ Hệ phương trình (*) có nghiệm $\iff \frac{4}{a^2-4}\ge 0\iff a^2-4>0\iff \left[\begin{array}{l}a>2\\ a<-2\end{array}\right..$

Kết hợp điều kiện $a<0,a\in \left[-20;20\right]$ ta có $a\in \left[-20;-2\right).$

Mà $a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \left\{-20;-19;-18;\mathrm{...};-3\right\}$

Vậy có 18 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.