Cho hàm số y =f(x) đồng biến trên (0; dương vô cùng) ;y=f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên

Hàm số $y=f\left(x\right)$ đồng biến trên $\left(0;+\infty \right)$ nên $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in \left(0;+\infty \right)$.

Mặt khác y =f(x)  liên tục, nhận giá trị dương trên$(0;+\infty )$ nên ${\left[f^{\text{'}}\left(x\right)\right]}^2=\left(x+1\right).f\left(x\right)\Rightarrow f^{\text{'}}\left(x\right)=\sqrt{\left(x+1\right).f\left(x\right)},\forall x\in \left(0;+\infty \right)$ 

$\Rightarrow \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{\sqrt{f\left(x\right)}}=\sqrt{\left(x+1\right)},\forall x\in \left(0;+\infty \right)$

$\Rightarrow \int \frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}d\text{x}=\int \sqrt{x+1}d\text{x}\Rightarrow \sqrt{f\left(x\right)}=\frac{1}{3}\sqrt{{\left(x+1\right)}^3}+C$

.

Từ $f\left(3\right)=\frac{2}{3}$ suy ra $C=\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{8}{3}$.

Như vậy$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{3}\sqrt{{\left(x+1\right)}^3}+\sqrt{\frac{2}{3}}-\frac{8}{3}\right)}^2$ .