Cho lăng trụ đều tam giác có cạnh Cho lăng trụ đều tam giác ABCA'B'C' có cạnh AB=2a , M là trung điểm của

Gọi J, K, H theo thứ tự là trung điểm của BC, $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}},K$.

$MH\text{ // BC}\Rightarrow \left(MBC\right)\equiv \left(MHJB\right)$.

$B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\text{ // }\left(MBC\right)\Rightarrow d\left(C^{\text{'}},\left(MBC\right)\right)=d\left(K,\left(MBC\right)\right)$.

$MH\perp K,MH\perp JK\Rightarrow MH\perp \left(JKH\right)\Rightarrow \left(JKH\right)\perp \left(MHJB\right)$.

Gọi L là hình chiếu của K trên $JH\Rightarrow d\left(K,\left(MBC\right)\right)=KL$.

Tam giác JKH vuông tại K có đường cao $KL=\frac{a\sqrt{2}}{2},KH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$;

$\frac{1}{K{L}^2}=\frac{1}{K{H}^2}+\frac{1}{K{J}^2}\Rightarrow KJ=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ là độ dài dường cao của lăng trụ.

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=KJ.S_{ABC}=\frac{3\sqrt{2}}{2}{a}^3$.