Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc [0;2021] để phương trình

* Hướng dẫn giải

Đặt $t={\left(2+\sqrt{3}\right)}^x;t>0$.

Phương trình đã cho trở thành $t+\frac{1}{t}=m$                   (*)

Xét hàm số $f\left(t\right)=t+\frac{1}{t}$ xác định và liên tục trên $\left(0;+\infty \right)$.

Ta có $f^{\text{'}}\left(t\right)=1-\frac{1}{t^2}$. Cho $f^{\text{'}}\left(t\right)=0\iff t=\pm 1$.

Bảng biến thiên

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt <=> m>2.

Vậy $m\in \left\{3;4;5;\mathrm{...};2021\right\}$ nên có 2019 giá trị thỏa mãn.