Cho tứ diện ABCD có AB=CD=a;AC=BD=b;AD=BC=c . Giá trị côsin góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}PM\text{ // BD}\\ PN//AC\end{array}\right.\Rightarrow \widehat{\left(B\text{D},AC\right)}=\widehat{\left(PM,PN\right)}$.

Theo công thức tính đường trung tuyến ta có

$C{M}^2=\frac{C{A}^2+C{B}^2}{2}-\frac{A{B}^2}{4}=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}$.

Tương tự $D{M}^2=\frac{2\left(b^2+c^2\right)-a^2}{4}$ nên:

$M{N}^2=\frac{M{C}^2+M{\text{D}}^2}{2}-\frac{C{\text{D}}^2}{4}=\frac{2\left(b^2+c^2\right)}{4}-\frac{a^2}{4}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

Áp dụng định lí Cô-sin cho tam giác PMN ta có:

$\cos \widehat{MPN}=\frac{P{M}^2+P{N}^2-M{N}^2}{2PM.PN}=\frac{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{b}{2}\right)}^2-\frac{b^2+c^2-a^2}{2}}{2\left(\frac{b}{2}\right)\left(\frac{b}{2}\right)}=\frac{a^2-c^2}{b^2}$.

Vậy $\cos \widehat{\left(AC,BD\right)}=\left|\frac{a^2-c^2}{b^2}\right|$.