Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình vẽ. Tất cả giá trị của tham số m

Xét hàm số $g\left(x\right)=f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m$.

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=2f^{\text{'}}\left(x\right)f\left(x\right)+f^{\text{'}}\left(x\right)=f^{\text{'}}\left(x\right)\left(2f\left(x\right)+1\right)$.

Dựa vào đồ thị của hàm số y=f(x) suy ra

$g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \left[\begin{array}{l}{f}^{\text{'}}\left(x\right)=0\\ f\left(x\right)=-\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\\ x=a<0\end{array}\right.$.

Ta có $g\left(a\right)=f^2\left(a\right)+f\left(a\right)+m={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}+m=m-\frac{1}{4}$ và $g\left(3\right)=f^2\left(3\right)+f\left(3\right)+m=m$.

Bảng biến thiên của hàm số y = g(x)