Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết f(x).f(1-x)=1 với mọi x thuộc [0;1]

Đáp án B

Ta có:  $1+f\left(x\right)=f\left(x\right)f\left(1-x\right)+f\left(x\right)\Rightarrow \frac{f\left(x\right)}{1+f\left(x\right)}=\frac{1}{f\left(1-x\right)+1}$

Xét  $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}$

Đặt  $t=1-x\Rightarrow x=1-t\Rightarrow dx=-dt.$

Đổi cận:  $\left\{\begin{array}{l}x=0\Rightarrow t=1\\ x=1\Rightarrow t=0\end{array}\right..$

Khi đó $I=-\underset{1}{\overset{0}{\int }}\frac{dt}{1+f\left(1-t\right)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dt}{1+f\left(1-t\right)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(1-x\right)}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+f\left(x\right)}dx.$  

Mặt khác $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{1+f\left(x\right)}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{1+f\left(x\right)}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1+f\left(x\right)}{1+f\left(x\right)}dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx=1$  hay  $2I=1.$

Vậy  $I=\frac{1}{2}.$