Biết rằng F(x)= tích phân (tanxdx) và F(0)=3F(pi)=6 Khi đó giá trị của biểu thức F(pi/3) +F(4pi/3) tương ứng bằng

Đáp án A

Ta có: $F\left(x\right)=\int \tan xdx=\int \frac{\sin xdx}{\cos x}=-\ln \left|\cos x\right|+C$  xác định trên 2 miền

+ Miền thứ nhất $\frac{\pi }{2}+k2\pi <x<\frac{3\pi }{2}+k2\pi ,$  ta có:

$3F\left(\pi \right)=3\left(-\ln \left|\cos \pi \right|+C\right)=6\iff C=2\to F\left(x\right)=-\ln \left|\cos x\right|+2$

$\Rightarrow F\left(\frac{4\pi }{3}\right)=-\ln \left|\cos \frac{4\pi }{3}\right|+2=2+\ln 2$

+ Miền thứ hai $-\frac{\pi }{2}+k2\pi <x<\frac{\pi }{2}+k2\pi$ , ta có:

$F\left(0\right)=-\ln \left|\cos 0\right|+C=6\iff C=6\to F\left(x\right)=-\ln \left|\cos x\right|+6$

$\Rightarrow F\left(\frac{\pi }{3}\right)=-\ln \left|\cos \frac{\pi }{3}\right|+6=6+\ln 2$ 

 Do đó:  $F\left(\frac{4\pi }{3}\right)+F\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\ln 2+8.$