Cho hàm số f(x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [0;2] Biết f(0)=1 và f(x).f(2-x)=e^(2x^2-4x) với mọi x thuộc [0;2] Tính tích phân I= tích phân từ 0 đến 2 của ((x^3-3x^...

Đáp án D

Từ giả thiết  $f\left(x\right).f\left(2-x\right)=e^{2x^2-4x}\stackrel{x=2}{\to }f\left(2\right)=1.$

Ta có  $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\frac{\left(x^3-3x^2\right).f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx.$

Đặt  $\left\{\begin{array}{l}u=x^3-3x^2\\ dv=\frac{f^{\text{'}}\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=\left(3x^2-6x\right)dx\\ v=\ln \left|f\left(x\right)\right|\end{array}\right.$

Khi đó $I=\left(x^3-3x^2\right)\ln \left|f\left(x\right)\right|\left|{}_{\begin{array}{l}\\ 0\end{array}}^{\begin{array}{l}2\\ \end{array}}\right.-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(3x^2-6x\right)\ln \left|f\left(x\right)\right|dx\stackrel{f\left(2\right)=1}{=}-3\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\ln \left|f\left(x\right)\right|dx=-3J$

Ta có  $J=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\ln \left|f\left(x\right)\right|dx\stackrel{x=2-t}{=}\underset{2}{\overset{0}{\int }}\left[{\left(2-t\right)}^2-2\left(2-t\right)\right]\ln \left|f\left(2-t\right)\right|d\left(2-t\right)$

 $=\underset{2}{\overset{0}{\int }}\left[{\left(2-x\right)}^2-2\left(2-x\right)\right]\ln \left|f\left(2-x\right)\right|d\left(2-x\right)=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\ln \left|f\left(2-x\right)\right|dx$

Suy ra  $2J=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\ln \left|f\left(x\right)\right|dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\ln \left|f\left(2-x\right)\right|dx$

 $=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\ln \left|f\left(x\right).f\left(2-x\right)\right|dx$

 $=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\ln e^{2x^2-4x}dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x\right)\left(2x^2-4x\right)dx=\frac{32}{15}$

 $\Rightarrow J=\frac{16}{15}$

Vậy  $I=-3J=-\frac{16}{5}.$