Cho hai số thực x>0, y>-1 thỏa mãn 2^(x^2-căn(y+1)log2 x=log2 (y/(căn(y+1)-1) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x^2+y bằng

Đáp án D

Ta có:  $2^{x^2-\sqrt{y+1}}{\log }_{2}x={\log }_2\frac{y}{\sqrt{y+1}-1}\iff \frac{2^{x^2}}{2^{\sqrt{y+1}}}{\log }_{2}x={\log }_2\frac{y\left(\sqrt{y+1}+1\right)}{\left(\sqrt{y+1}-1\right)\left(\sqrt{y+1}+1\right)}$

 $\iff 2^{x^2}{\log }_{2}x=2^{\sqrt{y+1}}{\log }_2\left(\sqrt{y+1}+1\right)\iff {2.2}^{x^2}{\log }_{2}x=2^{\sqrt{y+1}+1}{\log }_2\left(\sqrt{y+1}+1\right)=2^{x^2}{\log }_2{x}^2$

Nhận thấy ngay hàm số $f\left(t\right)=2^t.{\log }_{2}t$  đơn điệu trên miền dương

 $\Rightarrow x^2=\sqrt{y+1}+1\Rightarrow y={\left(x^2-1\right)}^2-1\Rightarrow P=x^2+y=x^4-x^2={\left(x^2-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\ge \frac{1}{4}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $x^2=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}$  (vì $x>0$ ).

Vậy  $P_{\min }=-\frac{1}{4}.$