Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AB

Câu hỏi :

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C\text{'}{D}^{\text{'}}$  có $AB<BC,BC=3cm.$  Hai mặt phẳng$\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$  và$\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$  hợp với nhau góc $\alpha \left(0<\alpha \le \frac{\pi }{2}\right).$  Đường chéo $B^{\text{'}}D$  hợp với mặt phẳng $\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$  một góc β $\left(0<\beta <\frac{\pi }{2}\right).$Hai góc $\alpha ,\beta$ thay đổi nhưng thỏa mãn hình hộp $AD{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}.BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$  luôn là hình lăng trụ đều. Giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$  là

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có: $\left(\widehat{\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right),\left(BD{D}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)}\right)=\widehat{COD}=\alpha$$\Rightarrow \widehat{CBD}=\frac{\alpha }{2}\Rightarrow BC=BD.\cos \widehat{CBD}=3\cos \frac{\alpha }{2},$$CD=BD.\sin \widehat{CBD}=3\sin \frac{\alpha }{2}$$CD=BD.\sin \widehat{CBD}=3\sin \frac{\alpha }{2}$   Ta có: $\left(\widehat{B^{\text{'}}D,\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)}\right)=\widehat{B^{\text{'}}D{C}^{\text{'}}}=\beta .$    Do $AD{D}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}.BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$  luôn là hình lăng trụ đều nên $BC=C{C}^{\text{'}}$ $V_{ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=BC.CD.C{C}^{\text{'}}=27\sin \frac{\alpha }{2}{\cos }^2\frac{\alpha }{2}$${\sin }^2\frac{\alpha }{2}{\cos }^4\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}.2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}.co{s}^2\frac{\alpha }{2}\le \frac{1}{2}{\left(\frac{2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}{3}\right)}^2=\frac{4}{27}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi  $2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}={\cos }^2\frac{\alpha }{2}\Rightarrow {\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow {\sin }^2\frac{\alpha }{2}{\cos }^2\frac{\alpha }{2}\le \frac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow V\le 6\sqrt{3}.$