Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R thỏa mãn f(0) = 3 và

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right..$

- Sử dụng giả thiết f(0) = 3 và $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2$ tính f(2)

- Từ $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2$ lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế, sau đó tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx$ bằng phương pháp đưa biến vào vi phân.

Cách giải:

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=f\text{'}\left(x\right)dx\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}du=dx\\ v=f\left(x\right)\end{array}\right..$

$\Rightarrow I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}x.f\text{'}\left(x\right)dx=xf\left(x\right)\left|\begin{array}{l}2\\ 0\end{array}\right.-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

     $=2f\left(2\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Theo bài ra ta có $f\left(x\right)+f\left(2-x\right)=x^2-2x+2.$ Thay $x=0\Rightarrow f\left(0\right)+f\left(2\right)=2\Rightarrow f\left(2\right)=2-f\left(0\right)=-1.$

Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế ta có $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2-2x+2\right)dx=\frac{8}{3}.$

Mà $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)dx=-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(2-x\right)d\left(2-x\right)=-\underset{2}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

$\Rightarrow 2\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{8}{3}\iff \underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=\frac{4}{3}.$

Vậy $\Rightarrow I=2f\left(2\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=2.\left(-1\right)-\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}.$

Chọn A.